Per la rappresentazione formale degli schemi comportamentali si potrebbero utilizzare le matrici, ampliando così l'analisi matematica del comportamento sociale. Le matrici saranno un utile strumento anche nella trattazione dei successivi argomenti. Uno schema comportamentale potrebbe essere formalizzato mediante la seguente matrice:
m1 a1 + m1 a2 + ... + m1 aN U1
m2 a1 + m2 a2 + ... + m2 aN U2
5. C = .............................................. = .
mN a1 + mN a2 + ... + mN aN UN
L'azione sociale, individuale e collettiva, è definibile come un insieme strutturato di schemi comportamentali, le cui componenti fondamentali sono sequenze di comportamenti.
Gli schemi comportamentali dell'azione sociale danno origine ad uno spazio vettoriale che, per motivi da chiarire, deve intendersi a dimensioni finite, poiché tali sono gli elementi di una sequenza comportamentale. Per il momento non è il caso di soffermarci su tale argomento poiché sarà nuovamente oggetto di discussione nel capitolo successivo, dove saranno affrontati i problemi relativi alla teoria dei sistemi. Cercherò per adesso di pervenire solo ad una maggiore specificazione dell'obiettivo principale delle precedenti argomentazioni.
Avendo affermato che il comportamento di una persona è dato dal prodotto fra atteggiamento e azione, allora è possibile effettuare un'ulteriore trasformazione di una sequenza comportamentale nel modo seguente:
6. Cj = c1 + c2 + c3 + ... + cN = Xj
In effetti utilizzando la precedente equazione è possibile applicare ad essa le stesse procedure formali impiegate da Thom relative ad alcuni modelli matematici sulla dinamica dei sistemi (un procedimento analogo lo si trova anche in Prigogine). Ora, seguendo le analisi matematiche di Thom, dalla precedente equazione si ottiene la seguente legge differenziale:
7. dCj*dt = Xj(c1, c2, c3, ... , cN)
dove t indica il tempo, infatti la precedente equazione differenziale indica la variazione nel tempo delle componenti Cj (unità comportamentali).
Le precedenti equazioni, secondo Thom, "definiscono nello spazio euclideo a k dimensioni Rk di coordinate (c1, ... , ck) un campo di vettori X di componenti Xi. L'evoluzione del miscuglio sarà descritta dallo spostamento del punto rappresentativo c(t) lungo una traiettoria del sistema differenziale definito dal sistema" corrispondente alla precedente equazione differenziale.
Le equazioni differenziali ci dicono che un qualsiasi sistema dinamico evolve nel tempo secondo leggi e principi approssimativamente definibili. Di conseguenza, la precedente equazione differenziale ci dice che il comportamento di un individuo o di un sistema sociale evolve nel tempo seguendo una dinamica ben precisa, la cui rappresentazione nello spazio delle fasi dà origine ad una traiettoria geometricamente definibile.
Le manifestazioni delle varie forme di comportamento sociale sono scomponibili in un dato numero di unità elementari la cui combinazione, come si è detto, forma una sequenza o linea comportamentale. Il punto fondamentale nell'analisi dinamica del comportamento sociale è rappresentato dal fatto che tale operazione di scomposizione dei componenti di un dato comportamento va effettuata indipendentemente dal loro significato socio-culturale. Per usare la terminologia matematica, si può concludere che le componenti elementari del comportamento sociale sono invarianti rispetto alle trasformazioni socio-culturali. Questo sta a significare semplicemente che alcune caratteristiche elementari del comportamento sociale non dipendono dalla struttura simbolico-culturale del sistema sociale di appartenenza; cioè, sia in Africa che in Asia certe caratteristiche del comportamento sociale sono identiche.
Una sequenza comportamentale che si realizza in un dato intervallo di tempo appartiene, a sua volta, ad uno schema di comportamenti la cui struttura complessiva definisce l'azione sociale. Ora, le sequenze comportamentali che appartengono a schemi complessi di comportamento sociale, danno origine ad uno spazio vettoriale il cui campo è costituito dall'insieme dei rapporti umani.
Anche se in un senso puramente formale, le precedenti formalizzazioni valgono a caratterizzare la struttura del comportamento sociale e la forma della funzione di Lewin, le cui trasformazioni analitiche implicano l'introduzione di modelli matematici particolarmente idonei per una interpretazione essenzialmente dinamica del comportamento sociale. Come si vedrà più oltre, queste procedure matematiche potrebbero estendersi anche nell'analisi di strutture sociali più ampie e nello studio dei processi di trasformazione sociale, in cui sono coinvolti interi sistemi sociali.
Sulla base delle rappresentazioni formali e delle concettualizzazioni precedenti possiamo effettuare la seguente ulteriore specificazione analitica della funzione di Lewin:
8. dCi/dt = F(P,A,T)
dove T indica l'insieme dei tempi.
"Una delle asserzioni fondamentali della teoria psicologica di campo è la seguente: qualsiasi comportamento o qualsiasi altro mutamento entro un campo psicologico dipende soltanto dalla particolare configurazione del campo psicologico a quel dato momento". Lewin aveva capito perfettamente quale doveva essere la strada migliore per la conoscenza scientifica dei fenomeni sociali; purtroppo la ricerca scientifica successiva nelle scienze sociali ha deviato completamente dai propositi di Lewin.
Dalla precedente equazione differenziale è possibile dedurre che l'evoluzione dinamica del comportamento sociale di un individuo è determinata non solo dalla persona e dall'ambiente, ma è anche una funzione del tempo (T). Un'ampia trattazione del concetto di tempo, inteso sia come parametro che come operatore, sarà effettuata nell'ambito dell'analisi dei processi di mutamento sociale, in cui saranno presi in considerazione i modelli matematici della termodinamica dei processi irreversibili elaborata da Prigogine (teoria delle biforcazioni, teoria degli attrattori, ecc.). Le formulazioni matematiche sin qui elaborate saranno più comprensibili nell'ambito dell'analisi relativa alla teoria assiomatica dei sistemi. Tuttavia, l'acquisizione sistematica dei concetti fondamentali considerati nelle precedenti analisi, può realizzarsi solamente attraverso lo studio di alcuni concetti astratti necessari per un ampliamento degli argomenti già discussi e per l'introduzione di nuove problematiche. La comprensione di questi concetti e delle relative implicazioni matematiche può avvenire solo nell'ambito di una trattazione, anche sintetica, delle conseguenze logiche e teoriche relative agli sviluppi rivoluzionari delle cosiddette geometrie non-euclidee.
m1 a1 + m1 a2 + ... + m1 aN U1
m2 a1 + m2 a2 + ... + m2 aN U2
5. C = .............................................. = .
mN a1 + mN a2 + ... + mN aN UN
L'azione sociale, individuale e collettiva, è definibile come un insieme strutturato di schemi comportamentali, le cui componenti fondamentali sono sequenze di comportamenti.
Gli schemi comportamentali dell'azione sociale danno origine ad uno spazio vettoriale che, per motivi da chiarire, deve intendersi a dimensioni finite, poiché tali sono gli elementi di una sequenza comportamentale. Per il momento non è il caso di soffermarci su tale argomento poiché sarà nuovamente oggetto di discussione nel capitolo successivo, dove saranno affrontati i problemi relativi alla teoria dei sistemi. Cercherò per adesso di pervenire solo ad una maggiore specificazione dell'obiettivo principale delle precedenti argomentazioni.
Avendo affermato che il comportamento di una persona è dato dal prodotto fra atteggiamento e azione, allora è possibile effettuare un'ulteriore trasformazione di una sequenza comportamentale nel modo seguente:
6. Cj = c1 + c2 + c3 + ... + cN = Xj
In effetti utilizzando la precedente equazione è possibile applicare ad essa le stesse procedure formali impiegate da Thom relative ad alcuni modelli matematici sulla dinamica dei sistemi (un procedimento analogo lo si trova anche in Prigogine). Ora, seguendo le analisi matematiche di Thom, dalla precedente equazione si ottiene la seguente legge differenziale:
7. dCj*dt = Xj(c1, c2, c3, ... , cN)
dove t indica il tempo, infatti la precedente equazione differenziale indica la variazione nel tempo delle componenti Cj (unità comportamentali).
Le precedenti equazioni, secondo Thom, "definiscono nello spazio euclideo a k dimensioni Rk di coordinate (c1, ... , ck) un campo di vettori X di componenti Xi. L'evoluzione del miscuglio sarà descritta dallo spostamento del punto rappresentativo c(t) lungo una traiettoria del sistema differenziale definito dal sistema" corrispondente alla precedente equazione differenziale.
Le equazioni differenziali ci dicono che un qualsiasi sistema dinamico evolve nel tempo secondo leggi e principi approssimativamente definibili. Di conseguenza, la precedente equazione differenziale ci dice che il comportamento di un individuo o di un sistema sociale evolve nel tempo seguendo una dinamica ben precisa, la cui rappresentazione nello spazio delle fasi dà origine ad una traiettoria geometricamente definibile.
Le manifestazioni delle varie forme di comportamento sociale sono scomponibili in un dato numero di unità elementari la cui combinazione, come si è detto, forma una sequenza o linea comportamentale. Il punto fondamentale nell'analisi dinamica del comportamento sociale è rappresentato dal fatto che tale operazione di scomposizione dei componenti di un dato comportamento va effettuata indipendentemente dal loro significato socio-culturale. Per usare la terminologia matematica, si può concludere che le componenti elementari del comportamento sociale sono invarianti rispetto alle trasformazioni socio-culturali. Questo sta a significare semplicemente che alcune caratteristiche elementari del comportamento sociale non dipendono dalla struttura simbolico-culturale del sistema sociale di appartenenza; cioè, sia in Africa che in Asia certe caratteristiche del comportamento sociale sono identiche.
Una sequenza comportamentale che si realizza in un dato intervallo di tempo appartiene, a sua volta, ad uno schema di comportamenti la cui struttura complessiva definisce l'azione sociale. Ora, le sequenze comportamentali che appartengono a schemi complessi di comportamento sociale, danno origine ad uno spazio vettoriale il cui campo è costituito dall'insieme dei rapporti umani.
Anche se in un senso puramente formale, le precedenti formalizzazioni valgono a caratterizzare la struttura del comportamento sociale e la forma della funzione di Lewin, le cui trasformazioni analitiche implicano l'introduzione di modelli matematici particolarmente idonei per una interpretazione essenzialmente dinamica del comportamento sociale. Come si vedrà più oltre, queste procedure matematiche potrebbero estendersi anche nell'analisi di strutture sociali più ampie e nello studio dei processi di trasformazione sociale, in cui sono coinvolti interi sistemi sociali.
Sulla base delle rappresentazioni formali e delle concettualizzazioni precedenti possiamo effettuare la seguente ulteriore specificazione analitica della funzione di Lewin:
8. dCi/dt = F(P,A,T)
dove T indica l'insieme dei tempi.
"Una delle asserzioni fondamentali della teoria psicologica di campo è la seguente: qualsiasi comportamento o qualsiasi altro mutamento entro un campo psicologico dipende soltanto dalla particolare configurazione del campo psicologico a quel dato momento". Lewin aveva capito perfettamente quale doveva essere la strada migliore per la conoscenza scientifica dei fenomeni sociali; purtroppo la ricerca scientifica successiva nelle scienze sociali ha deviato completamente dai propositi di Lewin.
Dalla precedente equazione differenziale è possibile dedurre che l'evoluzione dinamica del comportamento sociale di un individuo è determinata non solo dalla persona e dall'ambiente, ma è anche una funzione del tempo (T). Un'ampia trattazione del concetto di tempo, inteso sia come parametro che come operatore, sarà effettuata nell'ambito dell'analisi dei processi di mutamento sociale, in cui saranno presi in considerazione i modelli matematici della termodinamica dei processi irreversibili elaborata da Prigogine (teoria delle biforcazioni, teoria degli attrattori, ecc.). Le formulazioni matematiche sin qui elaborate saranno più comprensibili nell'ambito dell'analisi relativa alla teoria assiomatica dei sistemi. Tuttavia, l'acquisizione sistematica dei concetti fondamentali considerati nelle precedenti analisi, può realizzarsi solamente attraverso lo studio di alcuni concetti astratti necessari per un ampliamento degli argomenti già discussi e per l'introduzione di nuove problematiche. La comprensione di questi concetti e delle relative implicazioni matematiche può avvenire solo nell'ambito di una trattazione, anche sintetica, delle conseguenze logiche e teoriche relative agli sviluppi rivoluzionari delle cosiddette geometrie non-euclidee.
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