Gli argomenti affrontati non possono essere compresi a fondo se non si definiscono prima quelli che sono i pilastri portanti dell'intera struttura teorica qui delineata. I concetti fondamentali su cui ruota tutta la problematica della teoria dei modelli sono i concetti di "isomorfismo" e di "interpretazione". E' sulla base di questi due concetti che diventa possibile l'elaborazione e, quindi, l'applicazione dei modelli matematici nei più disparati campi della conoscenza scientifica.
Benché alcuni argomenti discussi nella presente ricerca sono il frutto di una serie di riflessioni personali, recentemente ho avuto l'opportunità di riscontrare delle analogie molto strette tra i problemi di cui ci stiamo occupando e le idee contenute sia negli studi di Piaget che nelle ricerche della Gestaltpsychologie. Molti degli argomenti affrontati nel presente lavoro costituiscono anche una dimostrazione della validità e veridicità delle assunzioni di Piaget e dei teorici della Gestalt.
"In genere quando si espongono processi o fenomeni di tipo psicologico difficilmente si è portati a considerare il loro versante materiale, la realtà fisiologica che sottendono. Esiste una componente della teoria della Gestalt, il postulato dell'isomorfismo, che si prefigge di dimostrare che processi così 'astratti' come possono sembrare quelli del pensiero, della memoria, dell'apprendimento, hanno un preciso supporto materiale, sono in ultima analisi originati da fatti che prevedono movimenti di atomi e molecole (Koffka 1935)". Il postulato dell'isomorfismo, così come è stato formulato dai teorici della Gestalt, non solo può estendersi a tutti i livelli della realtà, ma diventa il nodo centrale della rappresentazione degli universi paralleli (Fig. 2) e dell'applicabilità dei modelli matematici nei campi più disparati della scienza. Tuttavia, gli argomenti connessi al postulato dell'isomorfismo e al parallelismo psico-fisiologico vanno ripresi ed analizzati con precisione in quanto comportano una serie di problemi non semplici da risolvere, primo fra tutti il problema del riduzionismo.
Gli aspetti salienti relativi al problema del postulato dell'isomorfismo e del parallelismo psico-fisiologico sono stati definiti con chiarezza da Piaget.
Molti argomenti affrontati nelle ricerche di Prigogine e Thom convergono sui temi principali degli studi di Piaget. Infatti, proprio lo studio delle principali opere di Prigogine e Thom mi ha permesso di verificare concretamente la possibilità di una descrizione matematica dei processi sociali. Tuttavia, sono necessarie alcune precisazioni molto importanti relative alle implicazioni filosofiche dell'applicazione dei metodi matematici nelle scienze sociali.
La problematica relativa al parallelismo fra gli universi implica un'analisi approfondita degli elementi fondamentali connessi alla realizzazione di ciò che si è definito prima come l'interscambio fra i livelli e gli inter-livelli degli universi paralleli. Proprio in tale contesto il concetto di isomorfismo diventa un elemento essenziale per la dimostrazione dell'applicabilità dei modelli matematici nelle scienze sociali. Infatti, l'interscambio teorico-formale fra gli universi, che possiamo tranquillamente sostituire con il termine più preciso e adeguato di "applicazione", è reso possibile proprio dall'individuazione di un isomorfismo fra i diversi sistemi degli universi paralleli. Una volta individuato l'isomorfismo fra i sistemi - individuazione che ha un'importanza determinante ai fini di una conoscenza scientificamente valida - si passa successivamente all'elaborazione di un modello matematico che ci possa mettere nelle migliori condizioni per descrivere la struttura e le proprietà di un dato sistema.
L'applicazione della matematica nei vari settori della ricerca scientifica diventa possibile in seguito ad un'interpretazione dei simboli che compaiono in un dato modello matematico. In altri termini, nelle applicazioni della matematica si procede ad una sostituzione dei simboli apparentemente vuoti di un dato modello matematico, con gli oggetti concreti della realtà o di una teoria scientifica (punto materiale, massa, atteggiamento, tensione, tempo, velocità, ecc...). L'interpretazione è resa possibile proprio dalla scoperta di un isomorfismo fra la struttura del sistema materiale e le proprietà del modello matematico.
Sulla base di tali procedure le proprietà delle relazioni matematiche vengono trasferite nella struttura concreta mediante un modello opportunamente elaborato. Si dimostra così che ciò che vale per il modello, deve valere necessariamente anche per la struttura materiale in cui è stato individuato l'isomorfismo. A questo punto è necessaria una definizione di isomorfismo.
Una definizione molto interessante del concetto di isomorfismo potrebbe essere quella di Hofstadter.
Benché alcuni argomenti discussi nella presente ricerca sono il frutto di una serie di riflessioni personali, recentemente ho avuto l'opportunità di riscontrare delle analogie molto strette tra i problemi di cui ci stiamo occupando e le idee contenute sia negli studi di Piaget che nelle ricerche della Gestaltpsychologie. Molti degli argomenti affrontati nel presente lavoro costituiscono anche una dimostrazione della validità e veridicità delle assunzioni di Piaget e dei teorici della Gestalt.
"In genere quando si espongono processi o fenomeni di tipo psicologico difficilmente si è portati a considerare il loro versante materiale, la realtà fisiologica che sottendono. Esiste una componente della teoria della Gestalt, il postulato dell'isomorfismo, che si prefigge di dimostrare che processi così 'astratti' come possono sembrare quelli del pensiero, della memoria, dell'apprendimento, hanno un preciso supporto materiale, sono in ultima analisi originati da fatti che prevedono movimenti di atomi e molecole (Koffka 1935)". Il postulato dell'isomorfismo, così come è stato formulato dai teorici della Gestalt, non solo può estendersi a tutti i livelli della realtà, ma diventa il nodo centrale della rappresentazione degli universi paralleli (Fig. 2) e dell'applicabilità dei modelli matematici nei campi più disparati della scienza. Tuttavia, gli argomenti connessi al postulato dell'isomorfismo e al parallelismo psico-fisiologico vanno ripresi ed analizzati con precisione in quanto comportano una serie di problemi non semplici da risolvere, primo fra tutti il problema del riduzionismo.
Gli aspetti salienti relativi al problema del postulato dell'isomorfismo e del parallelismo psico-fisiologico sono stati definiti con chiarezza da Piaget.
Molti argomenti affrontati nelle ricerche di Prigogine e Thom convergono sui temi principali degli studi di Piaget. Infatti, proprio lo studio delle principali opere di Prigogine e Thom mi ha permesso di verificare concretamente la possibilità di una descrizione matematica dei processi sociali. Tuttavia, sono necessarie alcune precisazioni molto importanti relative alle implicazioni filosofiche dell'applicazione dei metodi matematici nelle scienze sociali.
La problematica relativa al parallelismo fra gli universi implica un'analisi approfondita degli elementi fondamentali connessi alla realizzazione di ciò che si è definito prima come l'interscambio fra i livelli e gli inter-livelli degli universi paralleli. Proprio in tale contesto il concetto di isomorfismo diventa un elemento essenziale per la dimostrazione dell'applicabilità dei modelli matematici nelle scienze sociali. Infatti, l'interscambio teorico-formale fra gli universi, che possiamo tranquillamente sostituire con il termine più preciso e adeguato di "applicazione", è reso possibile proprio dall'individuazione di un isomorfismo fra i diversi sistemi degli universi paralleli. Una volta individuato l'isomorfismo fra i sistemi - individuazione che ha un'importanza determinante ai fini di una conoscenza scientificamente valida - si passa successivamente all'elaborazione di un modello matematico che ci possa mettere nelle migliori condizioni per descrivere la struttura e le proprietà di un dato sistema.
L'applicazione della matematica nei vari settori della ricerca scientifica diventa possibile in seguito ad un'interpretazione dei simboli che compaiono in un dato modello matematico. In altri termini, nelle applicazioni della matematica si procede ad una sostituzione dei simboli apparentemente vuoti di un dato modello matematico, con gli oggetti concreti della realtà o di una teoria scientifica (punto materiale, massa, atteggiamento, tensione, tempo, velocità, ecc...). L'interpretazione è resa possibile proprio dalla scoperta di un isomorfismo fra la struttura del sistema materiale e le proprietà del modello matematico.
Sulla base di tali procedure le proprietà delle relazioni matematiche vengono trasferite nella struttura concreta mediante un modello opportunamente elaborato. Si dimostra così che ciò che vale per il modello, deve valere necessariamente anche per la struttura materiale in cui è stato individuato l'isomorfismo. A questo punto è necessaria una definizione di isomorfismo.
Una definizione molto interessante del concetto di isomorfismo potrebbe essere quella di Hofstadter.
"Si parla di 'isomorfismo' quando due strutture complesse si possono applicare l'una nell'altra, cioè far corrispondere l'una all'altra, in modo tale che per ogni parte di una delle strutture ci sia una parte corrispondente nell'altra struttura; in questo contesto diciamo che due parti sono 'corrispondenti' se hanno un ruolo simile nelle rispettive strutture".
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