Gli sviluppi storici delle controversie intorno ai fondamenti logico-matematici delle geometrie non-euclidee ha portato alla elaborazione di un concetto tutto nuovo di spazio. Questa nuova concezione dello spazio scaturita dalla costituzione delle geometrie non-euclidee ha permesso non solo un ampliamento di vecchi settori di ricerca, ma anche il costituirsi di nuovi campi della matematica. Uno dei più recenti sviluppi delle ricerche geometriche è sicuramente la topologia, dove si sono ottenuti notevoli risultati in ampie applicazioni.
La discussione intorno ai problemi delle geometrie non-euclidee è ormai storia passata, quindi non è il caso di riprenderne i motivi ispiratori. Piuttosto, l'aspetto più importante da mettere in evidenza è l'idea fondamentale su cui poggiano le geometrie non-euclidee.
E' ormai noto che lo spazio fisico è euclideo, tuttavia ciò non toglie che vi sia la possibilità di costruire sistemi di geometria alternativi a quella euclidea. "Gli assiomi della geometria - si pensava - descrivono la natura e l'essenza dello spazio in un modo assolutamente esatto. Ma la scoperta delle geometrie non euclidee modificò radicalmente la situazione. Non era più possibile considerare lo spazio come un oggetto unico, dotato di una struttura precisamente definita. Sembravano esserci tanti tipi di spazio, quante erano le diverse geometrie" (Cassirer). Difatti esistono effettivamente vari tipi di spazio (topologico, metrico, vettoriale, proiettivo, ecc.). Il vantaggio reale di questa pluralità di spazi consiste nell'essere pervenuti ad un concetto generale di spazio astratto la cui definizione è molto interessante soprattutto per gli argomenti che verranno trattati nei capitoli successivi.
"Nella matematica moderna si parla di spazio astratto intendendo con questo un insieme di natura qualsiasi, tra i cui enti componenti siano definite determinate relazioni e proprietà le quali valgono a strutturarlo" (Piccato). Sono convinto che sia possibile introdurre il concetto di spazio astratto anche nel campo delle scienze sociali. Si potrebbe infatti parlare di uno spazio sociale in termini di strutture e proprietà geometriche, e, più precisamente, di strutture topologiche; come del resto si è già avuto occasione di dimostrare mediante l'introduzione degli spazi vettoriali nell'analisi delle sequenze comportamentali.
Bisogna prendere atto del fatto che già nell'uso comune del termine 'spazio', per riferirsi ad entità sociali, è possibile individuare una connotazione formale che dimostra l'eventuale esistenza di relazioni e proprietà spaziali (astratte) anche in campo sociologico. Di conseguenza, nulla ci impedisce di poter studiare una qualsiasi configurazione di entità sociali da un punto di vista topologico e, quindi, geometrico. Infatti, applicando la teoria dei grafi nell'ambito della ricerca sociologica è possibile effettuare un'analisi grafo-dinamica dei rapporti interpersonali, identificando così strutture e proprietà topologiche delle relazioni sociali. Molto interessante in proposito è l'analisi storica del concetto di spazio sociale compiuta da Gallino, soprattutto per quanto riguarda i punti di vista di Simmel, von Wiese e Sorokin.
"Un interessante contributo al concetto di S. sociale è stato fornito dal filosofo americano A.F. Bentley (1931). Egli distingue tra spazio volgare, spazio matematico, spazio fisico, spazio sociale, e spazio sociologico. Lo S. sociale comprende le continuità e discontinuità, le separazioni e distribuzioni che si osservano fattualmente nelle società umane; lo spazio sociologico sono le costruzioni teoriche elaborate per l'analisi razionale degli spazi sociali. Il rapporto tra spazio sociologico e S. sociale è pertanto analogo a quello tra spazio matematico e spazi fisici" (Gallino).
Sebbene l'argomentazione del Bentley possa essere abbastanza criticabile sotto vari aspetti, diciamo pure che è un ottimo punto di partenza che, esteso agli argomenti matematici e dinamici del problema dello spazio, può apportare notevoli contributi all'analisi del comportamento sociale.
Nella spiegazione del comportamento di un individuo bisogna procedere attraverso l'analisi delle condizioni (ambiente) e della natura stessa dell'individuo (sistema). In tal senso, è dalla combinazione di fattori ambientali e psicologici che si produce un tipo particolare di comportamento sociale. "Denomineremo spazio di vita di quell'individuo la totalità di questi fattori (SpV), per cui abbiamo C = F(P,A) = F(SpV). Lo spazio di vita include pertanto sia la persona che il suo ambiente psicologico. Il compito di spiegare il comportamento diviene allora identico con 1) la ricerca di una rappresentazione scientifica dello spazio di vita (SpV) e con 2) l'individuazione della funzione (F) che connette il comportamento allo spazio di vita. Questa funzione (F) è ciò che comunemente si chiama una legge" (Lewin).
Un altro passo fondamentale nell'analisi matematica della dinamica del comportamento sociale consiste nel porre in relazione la formula di Lewin con la teoria di Thom sul logos di una forma e la relativa struttura algebrico-topologica.
La discussione intorno ai problemi delle geometrie non-euclidee è ormai storia passata, quindi non è il caso di riprenderne i motivi ispiratori. Piuttosto, l'aspetto più importante da mettere in evidenza è l'idea fondamentale su cui poggiano le geometrie non-euclidee.
E' ormai noto che lo spazio fisico è euclideo, tuttavia ciò non toglie che vi sia la possibilità di costruire sistemi di geometria alternativi a quella euclidea. "Gli assiomi della geometria - si pensava - descrivono la natura e l'essenza dello spazio in un modo assolutamente esatto. Ma la scoperta delle geometrie non euclidee modificò radicalmente la situazione. Non era più possibile considerare lo spazio come un oggetto unico, dotato di una struttura precisamente definita. Sembravano esserci tanti tipi di spazio, quante erano le diverse geometrie" (Cassirer). Difatti esistono effettivamente vari tipi di spazio (topologico, metrico, vettoriale, proiettivo, ecc.). Il vantaggio reale di questa pluralità di spazi consiste nell'essere pervenuti ad un concetto generale di spazio astratto la cui definizione è molto interessante soprattutto per gli argomenti che verranno trattati nei capitoli successivi.
"Nella matematica moderna si parla di spazio astratto intendendo con questo un insieme di natura qualsiasi, tra i cui enti componenti siano definite determinate relazioni e proprietà le quali valgono a strutturarlo" (Piccato). Sono convinto che sia possibile introdurre il concetto di spazio astratto anche nel campo delle scienze sociali. Si potrebbe infatti parlare di uno spazio sociale in termini di strutture e proprietà geometriche, e, più precisamente, di strutture topologiche; come del resto si è già avuto occasione di dimostrare mediante l'introduzione degli spazi vettoriali nell'analisi delle sequenze comportamentali.
Bisogna prendere atto del fatto che già nell'uso comune del termine 'spazio', per riferirsi ad entità sociali, è possibile individuare una connotazione formale che dimostra l'eventuale esistenza di relazioni e proprietà spaziali (astratte) anche in campo sociologico. Di conseguenza, nulla ci impedisce di poter studiare una qualsiasi configurazione di entità sociali da un punto di vista topologico e, quindi, geometrico. Infatti, applicando la teoria dei grafi nell'ambito della ricerca sociologica è possibile effettuare un'analisi grafo-dinamica dei rapporti interpersonali, identificando così strutture e proprietà topologiche delle relazioni sociali. Molto interessante in proposito è l'analisi storica del concetto di spazio sociale compiuta da Gallino, soprattutto per quanto riguarda i punti di vista di Simmel, von Wiese e Sorokin.
"Un interessante contributo al concetto di S. sociale è stato fornito dal filosofo americano A.F. Bentley (1931). Egli distingue tra spazio volgare, spazio matematico, spazio fisico, spazio sociale, e spazio sociologico. Lo S. sociale comprende le continuità e discontinuità, le separazioni e distribuzioni che si osservano fattualmente nelle società umane; lo spazio sociologico sono le costruzioni teoriche elaborate per l'analisi razionale degli spazi sociali. Il rapporto tra spazio sociologico e S. sociale è pertanto analogo a quello tra spazio matematico e spazi fisici" (Gallino).
Sebbene l'argomentazione del Bentley possa essere abbastanza criticabile sotto vari aspetti, diciamo pure che è un ottimo punto di partenza che, esteso agli argomenti matematici e dinamici del problema dello spazio, può apportare notevoli contributi all'analisi del comportamento sociale.
Nella spiegazione del comportamento di un individuo bisogna procedere attraverso l'analisi delle condizioni (ambiente) e della natura stessa dell'individuo (sistema). In tal senso, è dalla combinazione di fattori ambientali e psicologici che si produce un tipo particolare di comportamento sociale. "Denomineremo spazio di vita di quell'individuo la totalità di questi fattori (SpV), per cui abbiamo C = F(P,A) = F(SpV). Lo spazio di vita include pertanto sia la persona che il suo ambiente psicologico. Il compito di spiegare il comportamento diviene allora identico con 1) la ricerca di una rappresentazione scientifica dello spazio di vita (SpV) e con 2) l'individuazione della funzione (F) che connette il comportamento allo spazio di vita. Questa funzione (F) è ciò che comunemente si chiama una legge" (Lewin).
Un altro passo fondamentale nell'analisi matematica della dinamica del comportamento sociale consiste nel porre in relazione la formula di Lewin con la teoria di Thom sul logos di una forma e la relativa struttura algebrico-topologica.
"Osserviamo allora che ogni essere può venire considerato come una certa forma, un accidente locale su uno spazio substrato E (che non è necessariamente il nostro spazio-tempo ordinario, ma può essere uno spazio astratto le cui coordinate hanno il carattere qualitativo di un asse 'semantico'). La stabilità di ogni essere è quindi, in quest'ottica, la stabilità di una forma spaziale, di cui si cercherà un'interpretazione dinamica... Se E è lo spazio substrato, lo spazio schermo sul quale appare la forma F da interpretare, si introdurranno 'parametri nascosti', coordinate supplementari che sottendono uno spazio interno I. E' nello spazio prodotto E*I che ha luogo il processo dinamico propriamente detto, le cui singolarità daranno origine per proiezione su E alla forma F. Ci si può domandare se l'introduzione di un tale spazio I di parametri nascosti, per i quali non esiste, in teoria, nessuna interpretazione sperimentale, non sia totalmente arbitraria. Infatti, ciò che dà la teoria non è un unico spazio I, ma tutta una classe di spazi I dotati di isomorfismi locali; e le caratteristiche topologiche di questo spazio possono variare quando ci si sposta su E" (Thom).
Il discorso di Thom contiene molte indicazioni non solo per ampliare l'analisi matematica della formula di Lewin ma soprattutto per effettuare un'analisi descrittiva della dinamica sia del comportamento sociale, in particolare, che dei sistemi sociali, in generale. Infatti, sulla base del precedente riferimento al concetto di spazio astratto e degli argomenti sviluppati da Thom, si potrebbe elaborare un modello matematico completo per un'analisi dinamica delle varie forme di comportamento sociale, visto quest'ultimo come una morfologia locale nello spazio sociale, per usare la terminologia dello stesso Thom.
Proseguendo nel procedimento di trasformazione analitica della formula di Lewin, si potrebbero effettuare le seguenti sostituzioni interpretando l'ambiente A come lo spazio substrato E e sostituendo alla persona P lo spazio interno I di parametri nascosti (sia ben chiaro che tutto il presente discorso e le relative procedure formali valgono non solo per il comportamento sociale, ma si riferiscono, come si dimostrerà nei capitoli successivi, alla realtà sociale in generale). Di conseguenza, lo spazio prodotto A*P verrebbe ad essere niente altro che una specifica situazione sociale S. Quindi, parafrasando Thom si può affermare che è nello spazio prodotto A*P che si producono, o si manifestano, le varie forme comportamentali, individuali o collettive.
In effetti, se A*P = S, allora è possibile riformulare la funzione di Lewin nel modo seguente:
9a. C = F(S)
Conseguentemente, l'evoluzione temporale del comportamento di una persona in una data situazione sociale sarà definita dalla seguente equazione differenziale:
9b. dCi/dt = F(S,T)
"In psicologia il principio della contemporaneità elaborato dalla teoria di campo significa allora che il comportamento c nel momento t è una funzione della situazione S solamente al momento t (S comprende, beninteso, sia la persona che il suo ambiente psicologico)" (Lewin). A questo punto, volendo restare nell'ambito della dinamica classica, bisogna estendere i procedimenti analitici ad altri concetti della fisica e della matematica, come quello di 'punto materiale' e 'spazio delle fasi'. Mediante l'introduzione dei concetti di 'punto materiale' e 'spazio delle fasi' si potrebbe ritenere quasi completo il discorso intorno alla dinamica del comportamento sociale. Infatti, come vedremo più avanti, l'analisi del comportamento sociale e, più in generale, dei processi sociali, può essere ulteriormente ampliata introducendo alcuni modelli matematici delle cosiddette dinamiche hamiltoniane. Lo studio della dinamica hamiltoniana sarà preso in considerazione nell'ambito della teoria dei sistemi dinamici.
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