Definizioni del concetto di modello matematico

Per comprendere a fondo in che cosa consiste un modello matematico occorre, innanzitutto, spiegare quello che è il concetto più generale di “modello”, in quanto esistono svariati tipi di modello. In questo paragrafo tratteremo brevemente dei problemi e delle definizioni relative al concetto di modello, in generale, e di modello matematico, in particolare.

"Nessuna parte costitutiva dell'universo è talmente semplice da lasciarsi afferrare senza astrazione. Quest'ultima consiste nel prendere la porzione di universo considerata e nel sostituirla con un modello avente struttura analoga, ma più semplice. I modelli, dunque, tanto quelli formali (o intellettuali) quanto quelli materiali, rappresentano una necessità imprescindibile del procedimento scientifico".

In definitiva, che cos'è un modello?

"Un modello materiale è la rappresentazione di un sistema complesso ottenuta mediante un altro sistema, che, per assunto, è più semplice ma ugualmente possiede proprietà simili a quelle che, nel sistema complesso d'origine, sono state scelte come oggetto di studio. Un modello formale è quello che enuncia simbolicamente, in termini logici, una situazione idealizzata relativamente semplice, la quale condivide le proprietà strutturali del sistema fattuale originale".

La precedente definizione di Rosenblueth e Wiener mette in evidenza alcune caratteristiche peculiari dei modelli, non solo di quelli formali, ma di ogni tipo di modello. Ciò accade perché ogni modello si rifà, sostanzialmente, ai modelli formali.

Si potrebbe affermare senza esagerare che un modello è sempre un modello di qualcosa, cioè un modello non è altro che la rappresentazione, non necessariamente formale, di un oggetto concreto della realtà, o di una porzione di essa. In tal modo un modello è o ci fornisce l'immagine mentale dell'oggetto reale, o di una parte della realtà, che si vuole indagare.

Per avere un'idea o immagine chiara di cosa sia, in sostanza, un modello, possiamo adottare la seguente rappresentazione che, in un modo emblematico, può definirsi come un modello del concetto di modello:

Gli argomenti trattati nel presente capitolo possono ricondursi, in sostanza, a ciò che vi è di più specifico nella precedente rappresentazione. Infatti è nell'ambito della precedente rappresentazione grafica che ha senso formulare l'ipotesi di un'interpretazione matematica della dinamica sociale, o di tutto quello che si riferisce alla realtà sociale in senso generale.

In sintesi un modello è un'entità che può essere di qualunque tipo (teorico, formale, grafico, materiale, ecc...), la quale nel fornirci una rappresentazione, sia essa formale o meno, della realtà che intendiamo studiare, ci mette nelle migliori condizioni per poterla anche interpretare. Su queste basi è possibile formulare una definizione del concetto di 'modello matematico' che, per i fini che ci proponiamo nella presente ricerca, risulta estremamente importante.

"Proviamo a vedere cosa si può ricavare dalla riflessione su una definizione intelligente (e a parole) come quella data dall'economista matematico E. Malinvaud nel libro Methodes statistiques de l'econometrie (Paris, Dunod, 1964): 'Un modello matematico è la rappresentazione formale di idee o conoscenze relative a un fenomeno'. Questa definizione contiene una descrizione completa delle caratteristiche di un modello matematico, che possono essere raccolte in tre punti fondamentali, non separabili l'uno dall'altro. Precisamente:

a) un modello matematico è la rappresentazione di un fenomeno;

b) tale rappresentazione non è descrittiva, discorsiva o a parole, ma formale, espressa cioè in linguaggio matematico; 

c) non esiste una via diretta dalla realtà alla matematica. 
In altri termini il fenomeno specifico studiato non determina la 'sua' rappresentazione matematica; ciò che invece si fa è di tradurre in formule idee e conoscenze relative al fenomeno" (Israel).

Credo che adesso siano abbastanza chiare, grazie anche alla precedente definizione, le caratteristiche distintive di un modello matematico. Tuttavia, è interessante al riguardo il problema posto da Prigogine sui modelli della natura che hanno caratterizzato le varie epoche della scienza. "Ogni grande era della scienza ha avuto un modello della natura. Per la scienza classica fu l'orologio; per la scienza del XIX secolo, l'era della rivoluzione industriale, fu un meccanismo in via di esaurimento. Che simbolo potrebbe andar bene per noi? Forse, l'immagine che usava Platone: la natura come un'opera d'arte" (Prigogine-Stengers). Personalmente, ritengo che la risposta migliore al problema posto da Prigogine è che non potrà mai esistere un modello onnicomprensivo della natura. Bisogna, invece, intendere la natura come natura, e basta. Non possiamo elaborare un modello che riproduca globalmente le meraviglie della natura.