Il carattere astratto del ragionamento matematico

L'ipotesi di applicare la matematica nelle scienze sociali è legittimata soprattutto dagli sviluppi storici della ricerca scientifica. Ora, mediante un'analisi critica delle idee elaborate da alcuni autorevoli filosofi e matematici del nostro secolo, è possibile sviluppare una concezione più ampia della matematica pura. Innanzitutto, l'atteggiamento estremamente formalistico di Hilbert ci permette di comprendere più a fondo la forma e la natura astratta delle strutture e delle relazioni matematiche. La caratteristica distintiva delle relazioni matematiche infatti è che valgono indistintamente per qualsiasi insieme di oggetti, purché si rispettino i requisiti formali propri del ragionamento matematico. Ma, in definitiva, che cos'è che caratterizza il ragionamento matematico? Dal punto di vista della matematica pura, ciò che interessa non è tanto l'oggetto in sé, ma la forma del ragionamento e la struttura delle relazioni esistenti fra gli oggetti puri (ideali) della matematica. Ecco perché le proprietà e le relazioni della matematica pura valgono anche quando si sostituiscono in esse oggetti concreti (reali). Ciò che rende plausibile l'interpretazione matematicamente corretta dei principi e delle leggi della fisica è proprio questo essere “formalmente astratto” del ragionamento matematico. Già in precedenza si è fatto riferimento alla nozione di astrazione quale caratteristica fondamentale dei procedimenti deduttivi della matematica. Esiste tuttavia un'altra nozione che svolge anch'essa una funzione molto importante nell'elaborazione di argomentazioni formalmente astratte, sia in logica che in matematica; mi riferisco infatti al concetto di 'variabile'. Quello che manca totalmente nelle analisi sociologiche è proprio un simile modo di vedere le cose, che rappresenta in sostanza la vera forma delle attività concettuali e teoretiche della scienza.

Uno sguardo retrospettivo dello sviluppo storico delle scienze fisiche, e del ruolo svolto in esse dalle teorie matematiche, mette in evidenza l'importante compito svolto dall'approccio formalistico nell'elaborazione di modelli teorici e matematici per la ricerca scientifica. Inoltre, un'analisi dei rapporti fra il formalismo hilbertiano e le nozioni di astrazione, dimostrazione e variabile, pone le basi per l’elaborazione di un'immagine della matematica estesa alle più svariate forme del reale.