Strutture algebriche e relazioni d'interdipendenza

Lo studio delle strutture algebriche è di fondamentale importanza sia per la comprensione di alcune teorie scientifiche recenti, sia per elaborare modelli teorici più potenti in settori della conoscenza scientifica molto diversi fra loro. Infatti, è possibile individuare diversi campi di applicazione per la teoria delle strutture algebriche, anche sostanzialmente diversi dalle scienze fisiche. Il concetto di trasformazione rappresenta l'elemento fondamentale della teoria delle strutture algebriche. Tuttavia per introdurre l'argomento è necessario iniziare con qualche esempio specifico. Poniamo che sulla scrivania vi siano: due penne, tre libri, una matita e un orologio; possiamo solo affermare che si tratta di un insieme di sette oggetti differenti. Infatti non è possibile sostenere che l'insieme si riferisca ad un'unica classe di oggetti. Se invece si prendono in considerazione le sedie che si trovano in questa stanza, allora possiamo affermare che si tratta di un insieme specifico, pur prescindendo dalle loro caratteristiche individuali. Questo aspetto del problema è messo in luce da una regola matematica, molto nota agli studenti delle scuole superiori, secondo cui non si possono sommare elementi appartenenti ad insiemi di oggetti di genere diverso. Nel caso in cui si vogliano considerare le caratteristiche individuali o le proprietà degli elementi di un insieme, come le sedie dell'esempio precedente, allora si vedrà che nell'insieme ci sono sedie di legno e sedie di metallo, il che ci permette di pervenire ad una descrizione più dettagliata dell'insieme. 

Con il precedente esempio si vuole sottolineare la differenza esistente fra le caratteristiche numeriche di un insieme qualsiasi e le sue proprietà strutturali. Tali considerazioni sono valide in contesti molto diversi tra loro, dimostrando così l'elevato valore applicativo della teoria degli insiemi nella descrizione di fatti concreti. Infatti, una fila di persone davanti allo sportello di un ufficio pubblico o un certo numero di persone alla fermata dell'autobus hanno caratteristiche ben diverse da una folla di persone che camminano per strada portando striscioni e cartelloni di protesta. Gli esempi potrebbero continuare all'infinito ma il senso profondo del discorso è abbastanza chiaro. La sostanziale differenza che sussiste fra gli aspetti quantitativi e qualitativi di un dato insieme acquista un maggior rilievo quando, nell'ambito delle scienze sociali, facciamo riferimento ai fenomeni collettivi di aggregato ed ai fenomeni collettivi di gruppo. I fenomeni collettivi di aggregato si distinguono semplicemente per la loro caratteristica numerica, poiché si tratta di fenomeni di massa; viceversa, i fenomeni collettivi di gruppo sono relativamente indifferenti rispetto alle loro dimensioni, poiché ciò che li caratterizza in quanto tali è la loro organizzazione e coesione.

Nella letteratura sociologica esistono diversi esempi che rimandano più o meno alla stessa idea di fondo. Tuttavia, credo che solo mediante l'impiego della teoria delle strutture algebriche si possa pervenire ad un'analisi rigorosa di molti concetti psicologici e sociologici. Già Piaget trattò ampiamente la possibilità di estendere la teoria delle strutture algebriche nello studio dei fatti psicologici. A questo punto è necessaria una definizione matematica delle strutture algebriche, altrimenti si rischia di rimanere intrappolati nelle parole. Quando per la prima volta pervenni alla conoscenza delle strutture algebriche, la mia attenzione si soffermò sul concetto di "legge di composizione interna". La nozione di legge di composizione interna è l'elemento essenziale che caratterizza un gruppo o un'organizzazione in quanto tali, ovvero ciò che li distingue da una semplice folla o aggregato sociale qualsiasi. Qualcuno potrebbe obiettare che le relazioni sociali esistenti all'interno di un gruppo o di un'organizzazione sono molto più complesse di una legge di composizione interna. Innanzitutto, non ho mai affermato che una legge di composizione interna (o le leggi di composizione interna) è più complessa delle relazioni sociali che sussistono fra gli elementi di un gruppo o fra le componenti di un'organizzazione. Piuttosto, le leggi di composizione interna, insieme ad altre proprietà e caratteristiche tipiche di un dato sistema, definiscono proprio la natura e la struttura delle relazioni sociali all'interno di un gruppo o di un'organizzazione. Del resto nulla impedisce che il sostegno della struttura possa essere formato proprio dall'insieme delle relazioni sociali. 

La teoria delle strutture algebriche potrebbe essere un primo passo per uno studio rigoroso dei sistemi sociali. Sulla base delle precedenti affermazioni risulta abbastanza evidente che la struttura di un qualsiasi sistema (sociale, biologico, fisico, ecc...) è definibile, da un punto di vista algebrico, come un insieme di elementi strutturati per mezzo di una legge di composizione interna. Ad esempio, esiste una legge di composizione interna che caratterizza la struttura di un nucleo familiare, cioè una legge che definisce una cellula familiare in quanto tale. Infatti, un nucleo familiare è costituito da un certo numero di individui legati tra loro da un insieme di relazioni e proprietà specifiche che definiscono la struttura sociale della cellula familiare.

Dato un insieme di individui ed una legge di composizione interna, la struttura sociale così ottenuta definisce la natura delle relazioni o i rapporti sociali che vengono a stabilirsi fra gli elementi del sistema preso in considerazione. Come vedremo più oltre, se insieme alla teoria delle strutture algebriche vengono prese in considerazione anche la topologia e la teoria dei grafi, si potrebbero comprendere le differenze strutturali e funzionali esistenti fra i diversi sistemi; ad esempio tra la famiglia patriarcale e la famiglia nucleare. Ognuna delle due forme di convivenza familiare infatti possiede una struttura grafo-dinamica ed una struttura topologica differente. Ovviamente le precedenti considerazioni possono essere applicate a qualunque sistema sociale, dalle organizzazioni ai gruppi informali. Quando ci troviamo di fronte un dato sistema sociale, ciò che  definisce la struttura di tale sistema, cioè la legge di composizione interna, definisce anche la natura delle relazioni e dei rapporti sociali che si stabiliscono all'interno del sistema. Ecco perché possiamo distinguere tra relazioni politiche, quando si tratta di un partito politico, e relazioni familiari, quando si tratta di un nucleo familiare.